בגרות חורף 2025 · שאלה 4 – מודל ריבועי: מגלשת המים3 יחידות 372 · שיעור 31

בגרות חורף 2025 · שאלה 4

בגרות חורף 2025 · שאלה 4 – מודל ריבועי: מגלשת המים

פרק 4 – מודל ריבועי

1נוסח השאלה

2סעיף א – גובה הסולם

3סעיף ב – הגובה של C

4סעיף ג – שיעור ה־x של B

5סעיף ד – מגמת עלייה

📄 נוסח השאלה

בפארק מים יש מגלשת מים שצורתה היא פרבולה שמשוואתה y = x² − 6x + 11. למגלשה עולים מסולם אנכי המתחיל בקרקע, בנקודה O (ראשית הצירים), ומסתיים בנקודה A.

ציר ה־x מונח על הקרקע ומתאר את המרחק (במטרים) מן הסולם. ציר ה־y מתאר את גובה המגלשה (במטרים) מעל הקרקע.

📄 נוסח השאלה · המשך

נועם התחיל להתגלש במגלשה מן הנקודה A. הוא המשיך עד לנקודה B ומשם חזר לנקודה C, כמתואר בסרטוט. הנקודה C היא נקודת המינימום של הפרבולה.

א. מצאו את גובה הסולם (AO).

ב. מצאו באיזה גובה מעל הקרקע נמצאת הנקודה C.

נקודה B נמצאת בגובה 6 מטרים מעל הקרקע.

ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה B.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה נועם במגמת עלייה.

סעיף א – גובה הסולם

הסולם על ציר ה־y , והנקודה A היא החיתוך של הפרבולה עם ציר ה־y:

y = x² − 6x + 11

נציב x = 0:

y = 0² − 6 · 0 + 11 = 11

✅ פתרון סופי: AO = 11 מטרים

סעיף ב – הגובה של C

C הוא קודקוד הפרבולה:

x = −b2a

📐 קודקוד פרבולה

נציב b = −6 , a = 1:

x = −(−6)2 · 1

x = 62 = 3

y = x² − 6x + 11

📐 קודקוד פרבולה

לפרבולה y = ax² + bx + c
x = −b2a

סעיף ב – הגובה של C · המשך

y = x² − 6x + 11

נציב x = 3:

y = 3² − 6 · 3 + 11

y = 9 − 18 + 11 = 2

✅ פתרון סופי: 2 מטרים

סעיף ג – שיעור ה־x של B

y = x² − 6x + 11

נציב y = 6:

x² − 6x + 11 = 6

x² − 6x + 5 = 0

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

📐 נוסחת השורשים

נציב a = 1 , b = −6 , c = 5:

📐 נוסחת השורשים

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

סעיף ג – שיעור ה־x של B · המשך

נציב a = 1 , b = −6 , c = 5:

x_1,2 = −(−6) ± √(−6)² − 4 · 1 · 52 · 1

b² − 4ac = 36 − 20 = 16

√16 = 4

x₁ = 6 + 42 = 5

x₂ = 6 − 42 = 1

סעיף ג – שיעור ה־x של B · המשך

x₂ = 6 − 42 = 1

בגובה 6 המגלשה עוברת פעמיים: ב־x = 1 (בדרך למטה, לפני C) וב־x = 5 (אחרי C). לפי הסרטוט B נמצאת מימין ל־C:

✅ פתרון סופי: x_B = 5

סעיף ד – מגמת עלייה

a = 1 חיובי – הפרבולה "מחייכת" (קודקוד מינימום ב־x = 3). משמאל לקודקוד היא יורדת ומימינו עולה.

נועם עלה מ־C (x = 3) עד B (x = 5):

✅ פתרון סופי: 3 < x < 5

📌 סיכום התשובות

סעיף א

11 מטרים

סעיף ב

2 מטרים

סעיף ג

x = 5

סעיף ד

3 < x < 5

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא